连续型随机变量2-3
§3 连续型随机变量 除了离散型随机变量之外，还有非离散型的随机变量，这些随机变量的取值已不再是有 限个或可列个。在这类非离散型随机变量中，有一类常见而重要的类型，即所谓连续型 随机变量。粗略地说，连续型随机变量可以在某特定区间内任何一点取值。例如某种树 的高度；测量的误差；计算机的使用寿命等等都是连续型随机变量。对于连续型随机变 量，不能一一列出它可能取值，因此不能像对离散型随机变量那样用它取各个可能值的 概率来描述它的概率分布，而是要考虑该随机变量在某个区间上取值的概率，我们是用 概率密度函数来研究连续型随机变量的。 1. 概率密度和连续型随机变量定义： 对于随机变量[pic]，如果存在非负可积函数[pic]，使得对于任意实数，[pic] [pic]都有 [pic]， 则称[pic]为连续型随机变量；称[pic]为[pic]的概率密度函数，简称概率密度或密度． 由定义可知，分布密度[pic]具有如下基本性质: 　　　（１）．[pic]； 　（２）．[pic]． 这两条性质的几何意义是：概率分布密度曲线不在x轴下方，且该曲线与x轴所围的图 形面积为1。性质(1)、(2)可以作为判定一个函数是否可以作为一个连续型随机变量 的分布密度的条件。 对于连续型随机变量[pic]可以证明，它在某一点[pic]处取值的概率为零，即 对于任意实数[pic]，有[pic]． 即研究[pic]在某一点处取值的概率是没有什么实际意义的。从而可知，研究[pic]在 某区间上取值的概率时，该区间含不含端点，不影响概率值。即 (３)．对于任意实数，[pic] [pic]都有 [pic] 1. 设[pic]是连续型随机变量，已知[pic]的概率密度为 [pic] 其中[pic]为正常数． 试 确定常数[pic]． 解： 由概率密度函数性质，知 [pic] [pic] 二．几个常用的一维连续型随机变量： 1. 均匀分布：如果连续型随机变量[pic]的概率密度为 　　　　[pic]　 [pic] 记作[pic]． [pic] 因此上述定义中的概率密度可以改为 [pic] 其中[pic]为一常数，利用概率密度的性质，易得 [pic] 2. 指数分布: 　　[pic]　 则称[pic]服从指数分布（参数为[pic]），记为　[pic] 若[pic]服从参数为[pic]的指数分布，则对任意[pic]，　有 [pic] 如灯泡、电子元件的寿命，电话的通话时间等都被认为是 服从指数分布的。 3. 正态分布:　 1. 定义：如果连续型随机变量[pic]的概率密度为 　　　　　[pic] [pic] 可以证明： [pic] [pic] =1 2. 标准正态分布：当参数[pic]＝0　　而[pic]　时，即[pic]， 称[pic]服从标准正态分布，记　标准正态分布的概率密度为[pic]，则 　　　　　　　　[pic]　 　 正态分布是概率统计中最重要的一种分布。一方面，正态分布是实践中最常见的一 种分布，例如测量的误差，人的身高、体重，农作物的收获量，大批学生的考试成 绩等等，都近似服从正态分布。一般说来，若某一数量指标受到很多相互独立的随 机因素的影响，而每个因素所起的作用都很微小，则这个数量指标近似服从正态分 布。另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布在一定条件下可以用正态 分布来近似，因此在概率数理统计的理论和实际应用中，正态分布都有着十分重要 的地位。 3. 性质： (a) 在直角坐标系内[pic]的图形呈钟形; (b) 在[pic]处得最大值　　　　　　　　　　　 　　　　(c) 关于直线[pic]对称；在[pic]处有拐点； (d) 如果[pic]固定，改变[pic]的值，则[pic]的图形沿x轴平行移动，而不改变其形状，可 见[pic]形状完全由[pic]决定，而位置完全由[pic]来决定．当[pic]时，曲线以x轴为渐 近线; 当[pic]大时，曲线平缓, 当[pic]小时，曲线陡峭． [pic] 　　（４）标准正态分布[pic]的随机变量[pic]落在区间[pic]中的概率： 标准正态分布密度[pic]，记　[pic]，当[pic]， 其函数值可查本书的附表１， [pic] [pic][pic]， 　　其中 　　　（ⅰ）[pic]；　[pic]　[pic]． （ⅱ）[pic]：可直接查本书的附表１，得 　　　　　　　　◆[pic]　　　 （ⅲ）[pic]：　◆[pic]； ◆[pic]； 　　　　　　　　◆[pic] ◆[pic] 　　　　　　　　　　　　　　　[pic]； 　　　　　　　　◆[pic]． 【例２】设[pic]，则 [pic] [pic] [pic] [pic] （５）一般正态分布[pic]的随机变量[pic]落在区间[pic]中的概率： 只要搞清楚一般正态分布与标准正态分布的关系，即可利用标准正态分布求得 一般正态分布[pic]的随机变量[pic]落在区间[pic]中的概率．具体地， 设　　[pic]，则 　　　[pic] 令　[pic]　则有 　　　　　　[pic]， 　　　转化为标准正态分布，查本书的附表１，就可得这概率． 特别地， 　　　　[pic]；　　　 　　　　[pic]； 　　　　[pic]， 由上面三式可见，服从正态分布[pic]的随机变量[pic]之值基本上落在 区间[pic]内， 而几乎不在区间[pic]外取值． 【例３】[pic]，　求[pic] 解：　[pic] 　　[pic] 三．例题： 【例4】 对以下各题随机变量所对应的概率分布，试确定常数a. [pic] [pic] [pic] [pic] 【例5】 [pic] [pic] 【例6】设随机变量X的概率密度为 [pic] [pic] 【例设连续型随机变量X的分布面数为 [pic] [pic] 【例7】 则 [pic]， [pic] 四．习题： P．68　―――　１，２，４，５，１５
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