轻松学统计（3）
轻松学统计（3） 作者：张忠朴 [pic] 1.学以致用 　　第三次上课的进度是『统计的推定』，以前作菜鸟老师时，一上课一定 先正经八百的在黑板上先写下这五个字，这是什么东东？学生暗自滴咕，这 一滴咕教室的气氛马上凉了一半，等到学生们的学习热情被浇熄之后，才再 来冷灶热烧，那就累了。 　　教书教久了，才体会到一上课最好先把场子炒热，这样教到主题才会事 半功倍，所以先丢个可以暖场的问题给他们。 『你们知不知道在美国统计专家密度最高的城市是那一个？』 ???!!!大家既有兴趣却又茫然。 『猜猜看嘛！』试着再鼓励他们 『老师，可不可以给一点提示？』又开始讨价还价了。 『好，那个城市在沙漠之中，虽然不大但国际驰名』 『是不是拉斯维加斯？』马上有人兴奋抢答。 『答对了，但是为什么那个鸟不生蛋的地方会吸引一票统计专家呢？』 『是不是和赌有关？』 『对！但是赌和统计有什么关系呢？』 『如果能设计一种游戏让大家都认为自己很容易赢，那就会吸引一票傻蛋。 』 『没错，那些在赌城的统计专家，其实就是专门帮赌场设计那些表面看起来 吸引力十足，但事实上庄家最后必赢的游戏，由此可见统计并不只是艰深的 理论，它更可以应用在生活之中，所以今天就让我们来想一想如何将统计用 在工厂之中好吗？』 『好！』大家都显得兴奋莫名，这十足表现了中国人见赌心喜的本性。 『那你们认为在工厂中会赌那些事呢？』 『赌“席芭啦”！』这个回答马上引起全班哄堂大笑。 『赌“席芭啦”，你疯啦！工厂不但不感激你还会开除你，如果你不想被开除 那么还是趁早赌点正经的。』 再逼着刚才那位捣蛋鬼把聪明用上正途，他把手上的原子笔当作竹蜻蜒转了 两圈之后，若有所悟── 『在生管单位决定发料数量时，他们是不是会先赌一下这批产品的良品率？ 』 『没错，这是正经赌法之一，但是统计还有没有其它的用途呢？』同学又陷 入了沈思，沉思后有人灵光一闪── 『老师，会不会有的公司要赌一下产品出厂后的平均使用寿命，以免将来客 户抱怨连连？』 『太棒了，这件事不但要赌，而且还要算的非常精确，不然很可能就会大祸 临头，归纳刚才两位同学的想法，我们可以发现一个共同点，那就是他们都 在想一个如何用统计来作预测的问题，这种用统计来作预测的问题，术语就 叫做“推定”(Estimation)』。 2.未卜先知 　　『在统计应用上，推定占了一席非常重要的地位，尤其像在订货生产的 公司，如果生管无法推定出报废率来作发料宽放的依据，那么不是会造成无 效良品的麻烦，就是会搞出数量不足延误出货的飞机，前者会造成资金的浪 费，后者会引起客户的抱怨，都很糟糕的事，为了不要将来倒霉，所以让我 们现在就来学推定好不好？』 『好！』学生的眼睛慢慢亮了起来，但是我却反而不想马上让他们如愿以偿 ，因为Easy Coming， Easy Go本来就是教学大忌。所以决定先拿一个问题来钓他们── 『请问推定和凭空瞎猜有什么不同？』 『凭空瞎猜可以毫无根据，但是推定可能需要严谨一点』 『请问您说严谨是什么意思？』 『就是说推定的值要先有一些根据』 『你的意思是不是说，被推定的未知状况必须要先根据一些看得见的己知结 果而来？』 『对！我就是这种想法』 『好极了，刚才这位同学的想法其实就是推定的起点，任何推定都必须先根 据一些样本的数据来作推衍的基础，我们不妨先来看一个例子』 |某公司希望能预测其产品厚度之范围，试问应如何下手？及考虑那些因 | |素？ | |　　假设已量测25个成品，其厚度分别为（单位：mm）： | |53　 48　54　51　48 | |52　46　50　51　49 | |47　55　52　53　47 | |51　50　50　48　52 | |50　48　52　49　47 | | | |参考此数据在若95%的把握下，请问该公司成品平均厚度在何范围内？ | 『现在我们有了25组数据，那么请问下一步我们该怎么办？』 『计算』他们已很清楚的了解统计就是数据透过计算产生出有意的情报。 『没错，此例经过计算之后我们得到[pic]= 50.12 σ= 2.403 接下来下一步该怎么辨呢？』 『老师，下一步是不是就要回答95%的产品厚度范围有多宽了？』 『没错，但是这该如何推测』 『老师，如果您能够告诉我们95%的产品被含盖在几个σ之内，我们就可以推 测出它的范围』 利害！利害！这个学生不但学会了用反问法来脱身这一招，而且反问的还是 一个命中要害的问题，但是老姜当然自有辣法，所以仍要四两拨千金一下─ ─ 『这位同学的想法的确很高明，他的想法是机率和多少个σ之间一定会有关 系，而且彼此一定可以换算，这个想法其实就是常态分配机率论的基础，因 此现在让我们来看一下常态分配机率表(如附表一)，这个表的纵轴是到小数 点第一位的σ个数值，横轴则是小数点第二位的σ个数值，而表内的数字就是 图中斜线区的机率，现在请大家一起来想一想95%的产品应含盖在多少个σ之 内？』 同学们纷纷努力思索，个个都想拔头筹，结果居然还是刚才反问我的学生找 到了答案。 『老师，是1.96个σ』他与奋的大叫。 『没错，但是您是如何找到的呢？』 『老师，我先算出斜线的机率是2.5%也就是0.025，然后我就查表.......』 『等一下』我先打断他的话，『能不能请你先说明一下0.025的来龙去脉？ 』 『老师，因为这个题目要预测的范围95%，而斜线区正代表此范围之外的机 率，因此两边斜线区加起来的机率应该是5%(100% - 95%)，而如果我们假设左右斜线区各占一半，那么单一斜线区的机率，就是 2.5%也就是0.025』 『很好，然后呢？』 『然后我就先在常态分配机率表中找到0.025这个数字。从这个数字往左看 对应的纵轴数字是1.9，而往上对应的横轴数字是6.0，参考老师刚才的说明 ，我就得到了1.96个σ的答案。』 　　他一面说明，其它的同学纷纷点头，看到这种感人的场景，我不禁明白 其实在学习中导引学生领悟，反而比口沫横飞的填鸭法还更有效呢！ 　　看到学生都若有所悟，这时该给他们更大的成就感，『既然，大家都已 明白95%的产品是被含盖在±1.96个σ之内，所以我们现在可以更确实地回答 原来的问题了吗？』 『老师，95%产品的平均厚度会落在 50.12 ±1.96x2.403 之间』大家几乎是异口同声地回答了这个在15分钟之前还摸不着头绪的问题 ，这真是学习的一大兴趣。 3.康庄大道 　　用实例可以帮助我们走过前人推理的思维过程，但是实例仍然有它的限 制性，因此若要能举一反三触类旁通，那就必须在大家明白实例之后，再将 其中的精华从表象中抽离出来(这就所谓的抽象)，成为一种可以反复运用的 模型，因此，必须利用学生破解例子后兴高彩烈的时刻，顺便将他们带入推 定的理论模型。 『同学们，你们希望将来无论遇到任何统计推定的问题时都能迎刃而解吗？ 』 『希望』兴奋的响应。 『那我们来重新整理一下刚才的过程好吗？』 『好！』 『请回想一下，刚才这个过程和我们的第一节统计课有什么关系？』 『老师，整个讨论好象还是延着I→P→O 的过程在进行嘛！』一位平常蛮沈默的同学倒先发言了。 『好极了，这是正确的观察，于是又在黑板上画出了。 I→P→O程序图，只是比以前又多加上三个空的框框 [pic] [pic] 然后，反身问同学 『你们猜老师刚才多加的框框内该填什么？』 『老师，答对了有没有奖品？』教室气氛一好，同学居然会开始撒娇了。 『跟我来这套！当然有奖品啊！答对的，下课时，可以先来擦黑板。』吐嘈 回去，反而逗得全班同学大乐。 『请问您还要不要先抢答？』 『老师，如果擦黑板是奖品，那擦黑板也没有关系，我猜第一个框框内应该 填“样本值”也就是刚才那个例子中的25个样本的厚度值。』 『答对了，请大家给这位自告奋勇擦黑板的同学掌声鼓励好不好？』热烈的 掌声让那位同学好不得意。 『那么第二个框框内该填什么呢？』 马上有同学举手，我故意逗他『你也想来擦黑板啊？』他嘿嘿傻笑，真是老 实的可爱，于是帮他解围── 『好，那请你先告诉大家你认为第二个框框内该填什么？』 『该填统计量就是[pic]和σ』连回答都很老实。 『又答对了！』这时同学的掌声己自动响起，真是一群会互相鼓励的学生。 『那第三个框框该填什么呢？』这个问题似乎让有些同学很为难，看到他们 痛苦的表情，不免又大动侧隐之心，于是说：『老师也想擦黑板，所以最后 一个框框可不可以由老师替大家来回答？』 『老师，没有关系，你替我答，我替你擦黑板』一位同学马上很阿莎力的响 应。 『好，那我们一言为定，第三个框框请填“推定结论”也可直接写成“95%的产 品厚度在[pic]±1.96σ的范围内”』顺便我又在黑板的另一边写下“推定的步 骤”五个大字，然后转身告诉同学── 『刚才三个框框的推理过程其实就是统计推定的步骤。』 然后我转身在黑板上写上： 步骤1. 随机抽取样本 步骤2. 计算统计量([pic]，σ) 步骤3. 作出推定结论，下结论时可再细分成两步骤 步骤3A.决定信赖水准(Level of Confidence ,此例为95%) 步骤3B.决定信赖区间(Confidence interval ,此例即为[pic]±1.96σ) 『请各位记得这几个步骤，那么将来无论你们遇到什么推定的问题都可以很 容易地迎刃而解了』 『由于各位上课很认真尤其又肯热烈参与讨论，所以我再送各位一套锦囊， 好不好？』 『老师，那我也替你来擦黑板』严肃的班长居然也学会幽默了，这下非倾囊 相授不可，打开投影机，影幕上出现了── |常用信赖区间与σ个数对照表 | | 信赖水准 　 含盖σ个数 　　 信赖区间 | | | |　　　　　　　　　　90%　　　　　　1.645　　　　　　[pic]±1.645| |σ | |　　　　　　　　　　95%　　　　　　1.96　　　　　　 [pic]±1.96| |σ | |　　　　　　　　　　99%　　　　　　2.575　　　　　　[pic]±2.575| |σ | |　　　　　　　　　　99.73%　　　　 3　　　　　　　 [pic]±3 | |σ | 『这张表其实就是从刚才的常态分配机率表上整理出来的，如果将来各位碰 上一些特殊的信赖水准，只要回去查表也一定会得到答案的。』 4.精益求精 　　虽然下课时间快到了，但是看着他们眼眸中的热情，我就舍不得不再多 教他们一点，使他们能真正成为善用推定的高手。 『同学们，统计的推定好不好玩啊？』 『粉好玩！』居然有人学董月花。 『粉好玩的事有时候反而粉危险，其中最大的危险就是说不定您的推定会" 贡姑"，换句话说实际结果与您的推定可能会有很大的出入，请各位想想看 ，为什么会出现这种状况？』 『老师，会不会是样本有问题？』 『你认为样本可能会出现什么问题？』 『会不会所谓的样本其实不太具有代表性？』 『能不能举例说明？』 『譬如样本是工程师在实验室作出来的，而将来实际大量生产的产品却是由 生产线上的作业员生产的，这两者之间有许多不同，不知道这是不是就会造 成推定"贡姑"？』 『太好了，这位同学的想法正是推定步骤1在样本抽取上的大忌，像刚才他 举的例子，如果我们要推定一般的量产能力，结果却选取了工程师的特制产 品来作样本，这种样本就叫做偏差样本（Biased Sample），用已有偏差的样本来作推定，那当然会缪以千里了』 『老师，那我们该怎么办？』 『最具体可行的办法，就是随机抽样（Random Sampling），换言之，以刚才的例子我们其实应该让生产线的所有在制品都 有相同被抽中的机会，这样抽出的样本就可称为不偏样本（Unbiased Sample），从不偏样本得到的推论才会具有代表性，这就是统计学家为何一 再强调必须随机抽样（Random Sampling）的原因了。』 当大多数同学正陶醉在若有所悟时，却有一位同学狡黠地问了另一个问题─ ─ 『老师，偏差样本是推定中唯一的陷阱吗？』 『那你认为呢？』反将他一军。 『我猜应该还有别的。』 『别的又会是什么呢？』再用一次不偾不启的老招。 『刚才老师提到的第一个陷阱是有关样本品质（Quality）的问题，...
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