概率与概率的加法公式1-2
§2 随机事件的概率，古典概型与概率的加法公式 2000/7/31 1. 概率的统计定义： １．频率： 随机事件在一次具体的试验是否发生，虽然不能预先知道，但是，当大量重复同 一试验时，随机现象却呈现出某种规律, 即所谓统计规律性．　如：历史上有人作过成千上万次投掷硬币，下表列出他们的 试验记录： ２．随机事件 1。随机事件及其概率 2。古典概型 容易看出，投掷次数越多正面向上的频率越接近０．５，其中 　　　　　　　　　　　　　　　事件Ａ发生的次数　　　　　频数 　　　　　事件Ａ发生的频率＝　　　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　试验总次数　　　　　试验总次数　　　． 我们将事件发生的可能性大小只停留在定性了解不够的，下面给出事件发生的可能性大 小的客观的定量的描述，称为事件发生的概率． ２．随机事件的概率： 1. 定义：在不变的一组条件Ｓ下，重复作[pic]次试验，记[pic]是[pic]次试验中事 件[pic]发生的次数．当试验的次数[pic]很大时，如果频率[pic]稳定在某一数 值[pic]的附近摆动，而且一来随着试验次数增多，这种摆动的幅度越变越小， 则称数值[pic]为事件[pic]在条件Ｓ下发生的概率，记作 　　　　　　　　　　　　　　[pic] 这里，频率的稳定性是概率一个直观朴素的描述，通常称为概率的统计定义．但必 须指出，事件的频率是带有随机性的，这是由事件本身的随机性所决定。而事件的概率 ，却是一个客观存在的实数，是不变的。 二．　古典概型： １．定义：　如果随机现象满足下列三个条件： 1) 一次试验可能结果只有有限个，即所有基本事件只有有限个： [pic] ， 2) 每一个基本事件[pic]发生的可能性是相等的． 3) 基本事件[pic]是两两互不相容 满足以上三个条件的随机现象模型，称为古典概型． 在古典概型中，如果n为基本事件总数， m为事件A包含的基本事件数, 那么事件A的概率 [pic] 法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概率的一般定义．现在通常称它 为概率的古典概型的定义，因为它只适用于古典概型场合． 1. 古典概型公式的运用举例： 【例1】 袋里有2个白球和3个黑球．从袋任取出一球，求它是白球的概率． 解 ： 容易看出，“从袋里任取一球”这一试验是古典概型的，且 基本事件总数n＝5，取到白球的基本事件数m＝2，故 [pic] 把白球换为合格产品，黑球换为废品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样检验问题． 这种模型化的方法把表面上不同的问题归类于相同的模型之小中，能使问题更消楚，更 易于计算。 【例2】把a, b两个球随机地放到编号为I,　Ⅱ,　Ⅲ 的三只盒子里，求盒子I中没有球的概率。 解：这是一个古典概型问题， 把a, b两个球随机地放到编号为I,　Ⅱ,　Ⅲ 的三只盒子里，基本事件总数 　　　　　　　　　[pic]　　　 设Ａ＝“盒子I中没有球”，则事件A包含的基本事件数 　　　　　　　　　　[pic] ∴ [pic] 【例3】有一个口袋，内装a只白球，b只黑球，它们除颜色不同外，外形完全一样, 从袋了中任不同外，外形完全一样. 现任意模出2个球时，求： （１）模出2个球都是白球的概率； （２）模出一个白球一个黑球的概率 解:　　　这口袋共有a+b只球，从袋了中任意模出2个球的基本事件总数 [pic]　， 1. 模出2个球都是白球基本事件数　[pic]，　 　∴　　模出2个球都是白球的概率　[pic]； 2. 模出一个白球一个黑球的基本事件数　[pic]， 　∴　　模出一个白球一个黑球的概率　[pic]　　． 若把黑球作为废品，白球作为好品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样．按如产品 分为更多等级，例如：一等品，二等品，二等品，等外品等等．则可用装有多种颜色 的球的口袋的摸球模型来描述． 【例3】 列 [pic] [pic] 【例4】 [pic] 1．无放回抽样： [pic] [pic] 2．有放回抽样： [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]，　[pic] 　　　　　　　　　　　[pic] 【例5】 有一个口袋内装可分辨4个黑球，6个白球, 它们除颜色不同外，外形完全一样. 现按两种取法； （Ⅰ）无放回； （Ⅱ）有放回 连续从袋中取出３个球，分别求下面事件的概率： 1. 　[pic]“取出３个球都是白的”； 2. 　[pic]“取出２个黑球，１个白球”． 解：（Ⅰ）无放回：连续从袋中取出３个球的基本事件总数 [pic]， 　　　　　　　　（１）取出３个球都是白的基本事件数　　[pic]， 　　　　　　　　　　∴　　 [pic]　； （２）取出２个黑球，１个白球，注意到取出黑球的次序， ∴　事件[pic]的基本事件数　[pic]， 因而　[pic] 　　　　　 （Ⅱ）有放回：　连续从袋中取出３个球的基本事件总数 　　　　　　　　　　　　　[pic]， 1. 取出３个球都是白的基本事件数　[pic]， ∴　　 [pic]； 2. 取出２个黑球，１个白球，注意到黑球黑球的次序， ∴　事件[pic]的基本事件数　[pic]， 因而　[pic] 【例６】设有k个球，每个球都能以同样的概率落到N个格子(N[pic]k)的每—个格子中， 试求：下列事件的概率 (1) 　A=”某指定的k个格子中各有一个球”； 1) 　B=”任何k个格子中各有一个球”； (3) C=“k个球落到同一个格子中”. 解: 这是一个古典概型问题，由于每个球可落入N个格子中的任一个，所以n个球在N个 格子基本事件总数 [pic] (1) k个球在那指定的k个格子中全排列，总数为n!，因而所求概率 （2）n个格子可以任意，即可以从N个格子中任意选出n个来，这种选法共有 [pic] 又对于每种选定的n个格子，共有n! 排列，因而所求概率 [pic] 【例】 [pic] 【例】 [pic] 三。概率的性质： １．　　　[pic] ２．　　　[pic] ３．　　　[pic] 四．概率加法公式： 1. 概率加法公式： 1. 如果事件A， B是互不相容，则 P（A+B）=P（A）+P（B）， 特别地，[pic]； [pic] 2. [pic] [pic] [pic]． 特别地，（1）如果A与B是两个互斤事件，则 [pic]， （2） [pic] (3) 若 B [pic] A ，则 P（AB）[pic]P（A）[pic]P（B） ． 2． 逆事件概率： 【例7】在浴池的鞋柜中乱放着10双号码不同的托鞋．今随意取来三只，求有一双配对的 概率． 解法I： 设10双鞋的号码为t号至10号鞋．我们有下列事件等式， “三只鞋中有一双配对”＝“三只中1号鞋配对” +“三只中2号鞋配对” + … +“三支中10号鞋配对”． 相应地可设事件为 [pic] 把1号鞋看成废品，其他鞋看成合格品，由超几何 分布的概率公式，有 　　　　　　　　　　[pic]　　 解法1的特点是把较复杂的事件分解成较简单的事件和． [pic] 【例8】 [pic] [pic] [pic] 【例9】一个著名问题——匹配问题： ４张卡门分别标着1，2，3，4，面朝下放在桌子上． 一个自称有透视能力的人将用他超感觉能力说出卡片上的号数，如果他是冒充者而 只是随机地猜一下，他至少猜中—个的概率是多少？ 对于这个小数日(n＝4)的具体问题，可以通过把“至少猜中一个”进行分析而获得解 答．这里仅给出分析结果： [pic] 【例10】 【例】[pic] [pic] [pic] 解； （ⅰ）∵ [pic] ，[pic] [pic] 七．习题： 1．. [pic] [pic] 2．P．16 ----- 1，4，5，6，7
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