华宏2003年mba联考辅导资料(c)
下篇 2. 设“是4(5矩阵, α1 ,α2 ,α3,α4,α5是“的列向量组，r(α1 ,α2 ,α3,α4,α5)=3，则( )正确。 (A) “的任何3个行向量都线性无关； (B) α1 ,α2 ,α3,α4,α5的含有3个向量的线性无关部分组一定是它的极大无关组； (C) “的最下面的行向量是零向量。 (D) α1 ,α2 ,α3,α4,α5的线性相关的部分组一定含有多于3个向量． 3. 设n维向量组α1,α2 ,…,αs的秩等于3，则 (A) α1,α2 ,…,αs中的任何4个向量相关, 任何3个向量无关. (B) 存在含有两个向量的无关的部分组. (C) 相关的部分组包含向量的个数多于3. (D) 如果sr(β1, β2,(, βs),则A不可逆. 6. 设 α1,α2,α3,α4 线性无关,则( )线性无关. (A) α1+α2，α2+α3，α3+α4,α4+α1. (B) α1+α2，α2+α3， α3+α4,α3-α4 (C) α1-α2，α2-α3，α3-α4,α4-α1. (D) α1+α2，α2+α3，α3-α4,α4-α1.． 7. 设 α1,α2,α3线性无关, β1’(m- 1)α1+3α2+α3, β2’α1+(m+1)α2+α3, β3’-α1-(m+1)α2+(1- m)α3,其中m为实数,讨论m与r(β1, β2, β3)的关系. 8. 7.设n维向量组α1,α2,(,αs线性相关, 但是α2,(,αs线性无关，其中α1不是零向量.又设数 κ1,κ2,(,κs 不全为0，使得 κ1α1+ κ2α2+(+ κsαs=0 ，则一定有( ). (A) κ1 (0,κ2,(,κs全为0； (B) κ1 (0,κ2,(,κs不全为0 ； (C) κ1 ’0，κ2,(,κs不全为0； (D) s=n. 9. 设n维向量组α1,α2, α3,α4, β的秩为4，则( )正确. (A) n=4. (B)β可用α1,α2,α3,α4线性表示. (C) r(α1,α2,α3,α4)(3. (D) α1,α2,α3,α4线性无关. 10. 设α1=(1+λ，1，1)，α2=(1，1+λ，1)，α3=(1，1，1+λ)，β=(0，λ,λ2)． ① λ为何值时，β可用α1，α2，α3线性表示，并且表示方式唯一？ ②λ为何值时，β可用α1，α2，α3线性表示，并且表示方式不唯一？ ③ λ为何值时，β不可用α1，α2，α3线性表示？ 11.设α1=(1+a,1,1)，α2=(1,1+b,1)，α3=(1,1,1- b)，问a,b满足什么条件时r(α1,α2,α3)=2? 12.当a取何值时向量组 α1=(3，1，2，12)，α2=(-1，a，1，1)，α3=(1,- 1，0，2)线性相关？ 13． 1 4 4 2 已知矩阵“= 0 3 a 3 的秩为3,求a,并找出它的行向量组的一个极大无关组. -1 a 3 -5 1 4 4 5-a 14．如果α1,α2,α3线性无关,而3α1-α2+α3, 2α1+α2-α3, α1+tα2+2α3线性相关,则t= . 15． a b -3 b-1 a 1 3阶矩阵A= 2 0 2 ，B= -1 1 0 ，已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和 3 2 -1 0 2 1 r(AB) . 16. 设 α1=(1,0,1,1),α2=(2,-1,0,1),α3=(-1,2,2,0), β1=(0,1,0,1),β2 =(1,1,1,1),问: c1,c2满足什么条件时c1β1+c2β2可以用 α1 , α2 ,…,α r线性表示?(2c1+c2=0) 17.设 α1,α2,α3,α4 线性相关， α2,α3,α4,α5线性无关．哪个向量可用其它向量线性表示？哪 个向量不能用其它向量线性表示？ 18．设α1 , α2 ,…,α t 是“X =0的一个基础解系，β不是 “X ’0的解．证明β ,β+α1，β+α2，…，β+ αt线性无关． 19．设α1 , α2 ,…,α r 和β1 , β2 ,…,β s 是两个线性无关的n维向量组．证明：向量组{α1 , α2 ,…,α r ；β1 , β2 ,…,β s }线性相关的充分必要条件为存在n维非零向量γ，它既可用α1 , α2 ,…,α r 表示，又可用β1 , β2 ,…,β s表示． 20．① 设 α1,α2,α3是线性无关的4维向量组，β1,β2 也都是4维向量,证明:存在不全为0的c1,c2,使得c1β1+c2β2可以用α1,α2,α3线性表示. ② 设 4维向量组α1 , α2 ,…,α r的秩=3，β1,β2 也都是4维向量,证明存在不全为0的c1,c2,使得c1β1+c2β2可以用 α1,α2,…,α r线性表示. 21. 设α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βs 都是n维向量组,已知β1 =α1 , βi -αi可以用α1 , α2 ,…,αi-1线性表示(当i>1时).证明r(α1,α2,…,αs)= r(β1,β2,…,βs). 参考答案 1．(C). 2. (B). 3. (B). 4. ⑴, ⑶ ,⑷, ⑸ . 5.(D) . 6. (B). 7. m’2和m2’2时r(β1, β2, β3)=2,否则 r(β1, β2, β3)=3. 8. (B). 9. (C). 10. ⑴ λ不为0和-2.⑵ λ=0.⑶ λ=-2. 11. a=-1，或a=不为0，b=0. 12. a=3。 13．A=-7第1，2 4个行向量构成行向量组的一个极大无关组. 14． t=-2. 15． a=1,b=2, r(AB) ’1. 16.2c1+c2=0. 17. α1可用其它向量线性表示,α4不能用其它向量线性表示. 第五章 线性方程组 1. 线性方程组的形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 矩阵式 AX=β，(齐次方程组AX=0). 向量式 x1α1+ x2α2+( ,+xsαs= β， (齐次方程组x1α1+ x2α2+( ,+xsαs=0). 2. 线性方程组解的性质 (1) 齐次方程组AX=0 如果η1, η2,( ,ηs是齐次方程组AX=0的一组解,则它们的任何线性组合c1η1+ c2η2+( + csηs也都是解. (2) 非齐次方程组AX=β((0) 如果ξ1, ξ2,( ,ξs是AX=β的一组解,则 ① 它们的线性组合c1ξ1+ c2ξ2+( +csξs也是AX=β解的(c1+ c2+( +cs=1. ② 它们的线性组合c1ξ1+ c2ξ2+( +csξs是AX=0的解( c1+ c2+( +cs=0. 如果ξ0是AX=β的一组解,则n维向量(n是未知数的个数) ξ也是解(ξ-ξ0是导出齐次方程 组AX=0的解.( ξ是ξ0和AX=0的一个解的和.) 3. 线性方程组解的情况的判别 对于方程组AX=β,判别其解的情况用三个数:未知数个数n,r(A),r(A|β). ① 无解(r(A )
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