华宏2003年mba联考辅导资料(b)
中篇 3. 乘积矩阵的列向量组和行向量组, 设A是m(n矩阵B是n(s矩阵. A的列向量组为α1, α2,( ,αn,B的列向量组为β1, β2,( ,βs, AB的列向量组为γ1, γ2,( ,γs,则根据矩阵乘法的定义容易看出: ① AB的每个列向量组为γi=Aβi,i=1,2,(,s. 即A(β1, β2,( ,βs)= (Aβ1,Aβ2,( ,Aβs). ② β=(b1,b2, (,bn)T,则Aβ= b1α1+b2α2+ (+bnαn. 应用这两个性质可以得到: 乘积矩阵AB的第i个列向量γi是A的列向量组为α1, α2,( ,αn的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量βI的各分量. 类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各 分量. 以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难看出.然而它们无 论在理论上(有助于了解代数学中各部分内容的联系)和解题中都是很有用的.请读者注意 例题中对它们的应用.下面是几个简单推论. 用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行 向量; 用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量 . 单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵. 数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵. 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个作同次方幂. 4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵) (1) 矩阵方程 矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两中基本形式的矩阵方程. (I) AX=B. (II) XA=B. 其中A必须是行列式不等于0的n阶矩阵,这样这两个方程都是唯一解. 当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它是唯一解.设B有s列, B= (β1, β2,( ,βs),则 X也有s列,记X=(χ1, χ2,(,χs).得到Aχi=βi,i=1,2, (,s,这些方程组都是唯一解,从而AX=B唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即 得 (I)的解法: 将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A边为单位矩阵,此时B边为解X. (II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出XT,转置得X. . 矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往比较复杂,要用恒等变形简化为 下上基本形式再求解. (2) 可逆矩阵 定义 设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵. 此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1. 矩阵可逆性的判别: ① n阶矩阵A可逆(|A|(0. ② n阶矩阵A和B如果满足AB=E,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.(即 AB=E(BA=E.) 可逆矩阵有以下性质: ① 如果A可逆,则 A-1也可逆,并且(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1. AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T. 当c(0时, cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1. 对任何正整数k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k. (规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k. ② 如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1. ③ 如果A可逆,则A在乘法中有消去律: AB=0(B=0. BA=0(B=0. AB=AC(B=C. BA=CA(B=C. ④ 如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边): AB=C(B=A-1C. BA=C(B=CA-1. 由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法: (I) AX=B的解X=A-1B ; (II) XA=B的解X= BA-1. 这种解法自然好记,但是计算量必初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算). (3) 逆矩阵的计算和伴随矩阵 逆矩阵的计算有两种方法. ①初等变换法: A-1是矩阵方程AX=E的解,于是对(A|E)用初等行变换把化为E,则E化为 A-1. ② 伴随矩阵法 若A是n阶矩阵,记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为 A11 A21 ( An1 A*= A12 A22 ( An2 =(Aij)T. ( ( ( A1n A2n ( Amn 规定伴随矩阵不要求A可逆.但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系. 基本公式: AA*= A*A= |A|E. 于是对于可逆矩阵A,有 A-1= A*/|A|, 或A*=|A| A-1. 因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法. 和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵 a b * d -b c d = -c a , 因此当ad-bc(0时, a b -1 d -b c d = -c a (ad-bc) . 伴随矩阵的其它性质: ① 如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*. ② |A*|=|A|N-1. ③ (A-T)*=(A*)T. ④ (cA)*=c n-1A*. ⑤ (AB)*= B*A*; (Ak)*= (A*)k. ⑥ (A*)*=|A|N-2 A. 练习题二 1.设α=(1,2,3,4)T,β=(1,1/2,1/3/1/4)T, “=αβT, 求“n . 1 1/2 0 2．设“= 2 1 0 ，求“n． 1 1/2 0 1 0 0 3．设α=(1,0,1)T,β=(0,1,1)T,P= 1 1 0 , A= P-1αβ TP,求A2003. 0 0 1 4. 设α’( 1,-1,2)T ,β’(2, 3, 2)T , -1 2 0 “ ’ 0 1 1 ，B=“αβ T ,求B5． 3 0 -1 5． 已知3阶行列式|α,β,γ|=3，求|3α-β+2γ,-α+β+γ,2α+5β-7γ|. 6．已知 3 0 1 A= 1 1 0 ，AB=A+2B，求B． 0 1 4 7． 已知 0 1 0 1 -1 A= -1 1 1 ，B= 2 0 ，X=AX+B,求X. -1 0 -1 5 3 8．已知 1 -2 0 B= 2 1 0 ，(A- E)B = A，求A. 0 0 2 9．已知 1 1 -1 “= -1 1 1 ，“*X’ “-1+2X，求X． 1 -1 1 10．已知 0 1 1 “= 1 0 1 ，“-1Β“’6“+Β“，求Β． 0 1 0 11. 1 0 0 设 “ = -2 3 0 , Β=(“+E)-1(“-E),则(Β-E)-1= . 0 -4 5 12. A是一个3阶矩阵, 3维向量组γ1, γ2 ,γ3线性无关,满足Aγ1=γ2+γ3, Aγ2=γ1+γ3, Aγ3=γ1+ γ2 .求|A|. 13. 设 1 0 0 1 0 0 “ = 0 0 0 , B= 2 -1 0 , X B = B A,求X和X11. 0 0 -1 2 1 1 14. 2 0 0 设 “ =(1/2) 0 1 3 ,求(A*)-1. 0 2 5 15．设n阶矩阵“满足“2+3“- 2Ε’0，证明“可逆，并求“-1和(“+Ε)-1 22222 16.设n阶矩阵“ 满足“K’0，(k为一个自然数)，证明Ε-“可逆. 17．设n阶矩阵“ 满足“2-3“+2Ε’0， 并且A不是数量矩阵．问a为什么数时A-aE可逆？ 18. 已知n阶矩阵“2’“, (“+Β) 2’“2+Β 2, 证明 “Β’0． 19．设A，B，C都是n阶可逆矩阵，D=(ABAC)-1，证明BACD=CDAB． 20．设A，B都是n阶矩阵，AB+E可逆．证明BA+E也可逆，并且 (BA+E)-1=E-Β(AB+E)-1A ． 21．A，B都是n阶矩阵，并且B和E +AB都可逆，证明： Β(E +AΒ)-1Β-1’ E-Β(E + AB)-1A ． 22.设A,Β是两个n阶矩阵，则（ ）是A,Β 可交换的充分必要条件. (A) (A+Β)3= A3+3A2Β +3AΒ2+Β3 .(B) A2与Β2可交换. (C) A+Β与A-Β可交换. (D) (AΒ)2’A2Β2. 23．设A,B是两个n阶矩阵,满足(AB)2=E,则( )成立. (A) AB=E.(B) |A||B|=1.(C) AB=BA.(D)(BA)2=E . 24.设A,B是两个3阶矩阵,|A-1|=2,|B-1|=3,则|A*B-1-A-1B*|=( ). (A)36.(B)1/36.(C)-6.(D) 6. 25．已知3阶矩阵“满足: 2 1 -3 -5 -3 9 “2= 1 1 -2 , “3= -3 -2 6 , 求“. -3 -2 6 9 6 –17 26．设A,B是两个n阶矩阵,则( )成立. (A) 如果A,B都可逆,则 AB= BA. (B)如果AB是非零数量矩阵,则AB= BA. (C) 如果A*B= BA*,则AB= BA. (D)如果(AB)2= A2B2,则AB= BA. 27．设α=(-1,-1,2), β=(1,1,0), “=2E+αTβ ,B=E+3β Tα ,则AB-BA= . 参考答案 1. 4n“ . 2． 2 n-1“. 1 1 1 3．A2003= A=-1 -1 -1 . 1 1 1 4. -6 -9 -9 B5’B=“αβ T ’ 2 3 3 ． 2 3 3 5． -135. 6． 5 -2 -2 B= 4 –3 –2 . -2 2 3 7． 3 -1 X= 2 0 . 1 -1 3 8． 1 1/2 0 A= -1/2 1 0 . 0 0 1 9． 1 1 0 X’1/4 0 1 1 . 1 0 1 10 2 2 2 B=-3 1 3 2 . 1 1 2 11. (Β-E)-1= -(“+E)/2. 12. 2. 13. 设 1 0 0 1 0 0 “ = 0 0 0 , B= 2 -1 0 , X B = B A,求X和X11. 0 0 -1 2 1 1 14. (A*)-1=-4“. 15． “-1=(“+3Ε)/2 ,(“+Ε)-1= (“+2Ε)/4. 22222 16.设n阶矩阵“ 满足“K’0，(k为一个自然数)，证明Ε-“可逆. 17． A不等于1和2. 18. 已知n阶矩阵“2’“, (“+Β) 2’“2+Β 2, 证明 “Β’0． 19．设A，B，C都是n阶可逆矩阵，D=(ABAC)-1，证明BACD=CDAB． 20．设A，B都是n阶矩阵，AB+E可逆．证明BA+E也可逆，并且 (BA+E)-1=E-Β(AB+E)-1A ． 21．A，B都是n阶矩阵，并且B和E +AB都可逆，证明： Β(E +AΒ)-1Β-1’ E-Β(E + AB)-1A ． 22. (C). 23．(D). 24. (B). 25． -1 0 1 0 0 1 . 1 1 -2 26．(B). 27． –2 –2 -2 AB-BA=3(αTββ Tα-β TααTβ)=6 –2 –2 -2 . –2 –2 4 第四章 向量组的线性关系与秩 1. 向量组的线性表示关系 如果n维向量β等于n维向量组α1, α2,( ,αs的一个线性组合，就说β可以用α1, α2,( ,αs线性表示. 判别“β是否可以用α1, α2,( ,αs线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程 x1α1+ x2α2+( +xsαs=β 是否有解？解是否唯一？这个向量方程用分量写出就是以(α1, α2,( ,αs |β)为增广矩阵的线性方程组. 设α1, α2,( ,αs 和β1, β2,( , βt 都是n维向量组,如果每个βi都可以用α1, α2,( ,αs线性表示,则说向量组β1, β2,( , βt可以用α1, α2,( ,αs线性表示. 例如, 乘积矩阵AB的列向量组可以用A的列向量组线性组合.反之,如果向量组β1, β2,( , βt可以用α1, α2,( ,αs线性表示,则矩阵(β1, β2,( , βt)等于矩阵(α1, α2,( ,αs)和一个s(t矩阵C的乘积. C可以这样构造: 它的第i个列向量就是βi对α1, α2,( ,αs的分解系数. 当向量组α1, α2,( ,αs 和β1, β2,( , βt 互相都可以表示时,就说它们互相等价,并记作{α1, α2,( ,αs }({β1, β2,( , βt} . 向量组的线性表示关系有传递性,从而等价关系也有传递性. 2. 向量组的线性相关性 线性相关性是描述向量组内在关系的概念. 定义 设α1, α2,( ,αs 是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2,( ,cs使得 c1α1+ c2α2+( ,+csαs=0, 则说α1, α2,( ,αs 线性相关,否则(即要使得c1α1+ c2α2+( ,+csαs=0,必须c1,c2,( ,cs全为0)就说它们线性无关. 于是, α1, α2,( ,αs “线性相关还是无关”即x1α1+ x2α2+( ,+xsαs=0“有还是没有非0解”, 也就是以(α1, α2,( ,αs )为系数矩阵的齐次线性方程组有无非0解. 一个向量(s=1)相关(无关)即它是(不是)零向量. 与线性相关性有关的性质: ① α1, α2,( ,αs 线性相关(至少有一个αi可以用其它向量线性表示. ② 当向量的个数s大于维数n时, α1, α2,( ,αs 一定线性相关. ③ 线性无关向量组的每个部分组都无关(从而每个向量就不是0). ④ 如果α1, α2,( ,αs 线性相关,而α1, α2,( ,αs,β线性相关,则β可用α1, α2,( ,αs 线性表示. ⑤ 如果β可用α1, α2,( ,αs 线性表示,则表示方式唯一(α1, α2,( ,αs 线性无关. ⑥ 如果β1, β2,( , βt可以用α1, α2,( ,αs线性表示，并且t>s,则 β1.β2,(,βt 线性相关. 推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等. 3.向量组的极大无关组和秩 秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大的线性无关的部分 组. 定义 设α1, α2,( ,αs 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果 ① (I) 线性无关. ② (I) 在扩大就线性相关. 就称(I)为α1, α2,( ,αs 的一个极大无关组. 条件②可换为:任何αI都可用(I) 线性表示.也就是(I) 与α1, α2,( ,αs 等价. 当α1, α2,( ,αs 不全为零向量时, 它就存在极大无关组, 并且任意两个极大无关组都等价,从而包含的向量个数相等, 定义 如果α1, α2,( ,αs 不全为零向量,则把它的极大无关组中所包含向量的个数(是一个正整数)称为α1, α 2,( ,αs 的秩,记作r(α1, α2,( ,αs ).如果α1, α2,( ,αs 全是零向量,则规定r(α1, α2,( ,αs )=0. 秩有以下性质: ① α1,...
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