条件概率1-3
综合能力考核表详细内容
条件概率1-3
§3.条件概率、乘法公式、独立性 前面讲到随机事件时,说到随机事件是在一定条件S下,进行随机试验而可能发 生或可能不发生的事件.当我们计算事件A的概率P(A)时,如果除了条件S外,不再 加上其它条件的限制,我们称此种概率为无条件的概率。 但是在许多实际问题中,还存在着要求一个事件B在某一事件A已经发生的条件下的 概率.我们称它条件的概率。 一.【例1】 设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品,20件次品)来自甲厂, 30件(25件正品, 5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。 (1)求取得甲厂产品的概率; (2)求取得次品的概率; (3)已知取得的是甲厂产品,求取得的是次品的概率。 分析:为了直观,我们将产品情况列成表 [pic] 上面的问题,可用古典概率计算法求得。 解: 则 (1) (2) , ,, (3) 在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品,实际上是从甲厂70件产品(5 0件正品,20件次品)中任取一件。这时样本空间只含70个基本事件(是原的样本空间 的一部分)。由古典概率知: 为了给出条件概率的数学定义,我们对{例1}的条件概率问题进行分析: [pic] 即有 二。条件概率: 设A,B是条件S下的两个随机事件,P(A)>0,则称在事件4发生的条件 下事件B发生的概率为条件概率, 且 【例 1】从带有自标号1, 2, 3,4,5,6的六个球中,任取两个,如果用A表示事件“取出的两球的自标号的和, 为6”,用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”,试求: [pic] [pic] 【例】[pic] [pic] [pic] 解; (ⅰ)∵ [pic] ,[pic] [pic] 三.概率的乘法公式: [pic] [pic] 乘法公式: 两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件 在已知前一个事件发生下的条件概率。即 [pic] 【例2】 盒中有10件同型产品。其中8件正品, 2件次品,现从盒中无放回地连取2件,求第一次、第二次都取得正品的概率 。 [pic] 因为 在第一次已取得正品下,第二次再取产品时,盒中只剩9件产品,其中正品只有7件。 [pic] [pic] 【例3】10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放回),甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签,甲、乙都抽到难 签, 甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。 解 : 设事件A,B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签,则 [pic] 【例4】 [pic] 【例5】袋中有三个阄,其中仅有一阄为有物之阄,三人排队抓阄,每人取一个,记 [pic] 从此例看出,抓阄时虽排队,但三人是等概的,否则这个办法就不会被人类采纳达 数千年之久。 三.事件的独立性: 如果 则 表示事件A发生并不影响事件B发生的概率。 [pic] 即 [pic] 1.定义:设A,B是两个随机事件,如果 [pic] 2.性质: 若 四对事件 [pic]与[pic];[pic]与[pic];[pic] 与[pic];[pic]与[pic]中有一对相互独立, 则其余三对也相互独立.即下面四个命题是等价的: 3.定义2: [pic] [pic] 应用独立性概念,可以简化概率的计算. 【例6】在不超过100个自然数里任取一数,则它能被2或能被5整除的概率为多少? [pic] [pic] 【例】 袋中放有a个白球和b个黑球,随机取出一个,然后放回,并同时再放进与取出的 球同色的球c个,再取第二个,这样连续取3次,问取出的3个球中头两个是黑球,第3个 是 白球酌概率是多少? 解 : [pic] 【例】 8. 已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,且他们是否含有肝炎病 毒是相互独立的.今混合100个人的血清,试求混合后的血清中含有肝炎病 毒的概率. [pic] [pic] 现在我们知道对100人的血清作检验.用新方法要检验l01次的可能性为0.33,而只 需检验一次的可能性为1—o.33 =o.67.由此,可以知道,只做一次检验的可能性远 大于t01次检验的可能性.以后我们将知道:用新方法对100个人平均需做34次检验,当 然这比老方法要做too次检验确实减少了工作量. 【例】 [pic] 【例】甲、乙两人同时向一敌机炮击,已知甲击中的概率为o.6,乙击中的概率为o.5 ,求敌机被击中的概率。 [pic] [pic] 【例11】 (1)两门火炮同时向一敌机射击,每门火炮的命中率为0.6,求敌机 被击中的概率. 2. 现若干门炮同时向向一敌机炮击,问欲以99%的把握击中这敌机,至少需要几 门炮? [pic] (2)解:设至少n门炮同时向向一敌机炮击, [pic]“第[pic]门炮击中这敌机” [pic], [pic] “敌机被击中”, 则 [pic], (∵ [pic] 不是两两互不相容,P(A)计算量太大,可以考虑[pic]的逆事件 ) ∵ [pic], 且[pic] 是相互独立的, ∴ [pic], [pic] 因而 [pic], 可见, 至少需要6门炮才能以99%的把握击中这敌机。 【例】 若n次独立试验中,A至少出现一次的概率为 ,, 求一次试验中A出现的概率。 [pic] 4. 习题: P。29―――1,2,3,4
条件概率1-3
§3.条件概率、乘法公式、独立性 前面讲到随机事件时,说到随机事件是在一定条件S下,进行随机试验而可能发 生或可能不发生的事件.当我们计算事件A的概率P(A)时,如果除了条件S外,不再 加上其它条件的限制,我们称此种概率为无条件的概率。 但是在许多实际问题中,还存在着要求一个事件B在某一事件A已经发生的条件下的 概率.我们称它条件的概率。 一.【例1】 设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品,20件次品)来自甲厂, 30件(25件正品, 5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。 (1)求取得甲厂产品的概率; (2)求取得次品的概率; (3)已知取得的是甲厂产品,求取得的是次品的概率。 分析:为了直观,我们将产品情况列成表 [pic] 上面的问题,可用古典概率计算法求得。 解: 则 (1) (2) , ,, (3) 在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品,实际上是从甲厂70件产品(5 0件正品,20件次品)中任取一件。这时样本空间只含70个基本事件(是原的样本空间 的一部分)。由古典概率知: 为了给出条件概率的数学定义,我们对{例1}的条件概率问题进行分析: [pic] 即有 二。条件概率: 设A,B是条件S下的两个随机事件,P(A)>0,则称在事件4发生的条件 下事件B发生的概率为条件概率, 且 【例 1】从带有自标号1, 2, 3,4,5,6的六个球中,任取两个,如果用A表示事件“取出的两球的自标号的和, 为6”,用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”,试求: [pic] [pic] 【例】[pic] [pic] [pic] 解; (ⅰ)∵ [pic] ,[pic] [pic] 三.概率的乘法公式: [pic] [pic] 乘法公式: 两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件 在已知前一个事件发生下的条件概率。即 [pic] 【例2】 盒中有10件同型产品。其中8件正品, 2件次品,现从盒中无放回地连取2件,求第一次、第二次都取得正品的概率 。 [pic] 因为 在第一次已取得正品下,第二次再取产品时,盒中只剩9件产品,其中正品只有7件。 [pic] [pic] 【例3】10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放回),甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签,甲、乙都抽到难 签, 甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。 解 : 设事件A,B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签,则 [pic] 【例4】 [pic] 【例5】袋中有三个阄,其中仅有一阄为有物之阄,三人排队抓阄,每人取一个,记 [pic] 从此例看出,抓阄时虽排队,但三人是等概的,否则这个办法就不会被人类采纳达 数千年之久。 三.事件的独立性: 如果 则 表示事件A发生并不影响事件B发生的概率。 [pic] 即 [pic] 1.定义:设A,B是两个随机事件,如果 [pic] 2.性质: 若 四对事件 [pic]与[pic];[pic]与[pic];[pic] 与[pic];[pic]与[pic]中有一对相互独立, 则其余三对也相互独立.即下面四个命题是等价的: 3.定义2: [pic] [pic] 应用独立性概念,可以简化概率的计算. 【例6】在不超过100个自然数里任取一数,则它能被2或能被5整除的概率为多少? [pic] [pic] 【例】 袋中放有a个白球和b个黑球,随机取出一个,然后放回,并同时再放进与取出的 球同色的球c个,再取第二个,这样连续取3次,问取出的3个球中头两个是黑球,第3个 是 白球酌概率是多少? 解 : [pic] 【例】 8. 已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,且他们是否含有肝炎病 毒是相互独立的.今混合100个人的血清,试求混合后的血清中含有肝炎病 毒的概率. [pic] [pic] 现在我们知道对100人的血清作检验.用新方法要检验l01次的可能性为0.33,而只 需检验一次的可能性为1—o.33 =o.67.由此,可以知道,只做一次检验的可能性远 大于t01次检验的可能性.以后我们将知道:用新方法对100个人平均需做34次检验,当 然这比老方法要做too次检验确实减少了工作量. 【例】 [pic] 【例】甲、乙两人同时向一敌机炮击,已知甲击中的概率为o.6,乙击中的概率为o.5 ,求敌机被击中的概率。 [pic] [pic] 【例11】 (1)两门火炮同时向一敌机射击,每门火炮的命中率为0.6,求敌机 被击中的概率. 2. 现若干门炮同时向向一敌机炮击,问欲以99%的把握击中这敌机,至少需要几 门炮? [pic] (2)解:设至少n门炮同时向向一敌机炮击, [pic]“第[pic]门炮击中这敌机” [pic], [pic] “敌机被击中”, 则 [pic], (∵ [pic] 不是两两互不相容,P(A)计算量太大,可以考虑[pic]的逆事件 ) ∵ [pic], 且[pic] 是相互独立的, ∴ [pic], [pic] 因而 [pic], 可见, 至少需要6门炮才能以99%的把握击中这敌机。 【例】 若n次独立试验中,A至少出现一次的概率为 ,, 求一次试验中A出现的概率。 [pic] 4. 习题: P。29―――1,2,3,4
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