条件概率1-3
§3．条件概率、乘法公式、独立性 前面讲到随机事件时，说到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发 生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，如果除了条件S外，不再 加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。 但是在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A已经发生的条件下的 概率．我们称它条件的概率。 一．【例1】 设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂， 30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。 (1)求取得甲厂产品的概率； (2)求取得次品的概率； (3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。 分析：为了直观，我们将产品情况列成表 [pic] 上面的问题，可用古典概率计算法求得。 解： 则 （1） （2） ， ，， （3） 在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(5 0件正品，20件次品)中任取一件。这时样本空间只含70个基本事件(是原的样本空间 的一部分)。由古典概率知： 为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进行分析： [pic] 即有 二。条件概率： 设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞0，则称在事件4发生的条件 下事件B发生的概率为条件概率, 且 【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取两个，如果用A表示事件“取出的两球的自标号的和， 为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求： [pic] [pic] 【例】[pic] [pic] [pic] 解； （ⅰ）∵ [pic] ，[pic] [pic] 三．概率的乘法公式： [pic] [pic] 乘法公式： 两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件 在已知前一个事件发生下的条件概率。即 [pic] 【例2】 盒中有10件同型产品。其中8件正品， 2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第二次都取得正品的概率 。 [pic] 因为 在第一次已取得正品下，第二次再取产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。 [pic] [pic] 【例3】10个考签中有4个难签， 3人参加抽签(不放回)，甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽到难 签， 甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。 解 ： 设事件A，B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，则 [pic] 【例4】 [pic] 【例5】袋中有三个阄，其中仅有一阄为有物之阄，三人排队抓阄，每人取一个，记 [pic] 从此例看出，抓阄时虽排队，但三人是等概的，否则这个办法就不会被人类采纳达 数千年之久。 三．事件的独立性： 如果 则 表示事件A发生并不影响事件B发生的概率。 [pic] 即 [pic] 1．定义：设A，B是两个随机事件，如果 [pic] 2．性质： 若　四对事件　[pic]与[pic]；[pic]与[pic]；[pic] 与[pic]；[pic]与[pic]中有一对相互独立， 则其余三对也相互独立．即下面四个命题是等价的： 　　　　　　 ３．定义２：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　[pic] 　　　　　[pic] 应用独立性概念，可以简化概率的计算． 【例6】在不超过100个自然数里任取一数，则它能被2或能被5整除的概率为多少？ [pic] [pic] 【例】 袋中放有a个白球和b个黑球，随机取出一个，然后放回，并同时再放进与取出的 球同色的球c个，再取第二个，这样连续取3次，问取出的3个球中头两个是黑球，第3个 是 白球酌概率是多少? 解 ： [pic] 【例】 8. 已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0．4％，且他们是否含有肝炎病 毒是相互独立的．今混合100个人的血清，试求混合后的血清中含有肝炎病 毒的概率． [pic] [pic] 现在我们知道对１００人的血清作检验．用新方法要检验l01次的可能性为0．33，而只 需检验一次的可能性为１—o．33　＝o．67．由此，可以知道，只做一次检验的可能性远 大于t01次检验的可能性．以后我们将知道：用新方法对100个人平均需做34次检验，当 然这比老方法要做too次检验确实减少了工作量． 【例】 [pic] 【例】甲、乙两人同时向一敌机炮击，已知甲击中的概率为o．6，乙击中的概率为o．5 ，求敌机被击中的概率。 [pic] [pic] 【例１１】 （１）两门火炮同时向一敌机射击，每门火炮的命中率为０．6，求敌机 被击中的概率． 2. 现若干门炮同时向向一敌机炮击，问欲以９９％的把握击中这敌机，至少需要几 门炮？ [pic] （２）解：设至少n门炮同时向向一敌机炮击， 　　　　　[pic]“第[pic]门炮击中这敌机”　[pic]， 　　　　　[pic] “敌机被击中”， 则 [pic]， 　　　 （∵　　[pic] 不是两两互不相容，Ｐ（Ａ）计算量太大，可以考虑[pic]的逆事件 ） ∵　[pic]，　　且[pic]　是相互独立的， ∴　[pic]， 　　[pic] 因而　　[pic]， 可见，　至少需要６门炮才能以９９％的把握击中这敌机。 【例】 若n次独立试验中，A至少出现一次的概率为 ,, 求一次试验中Ａ出现的概率。 [pic] 4. 习题： 　　　　　　Ｐ。２９―――１，２，３，４
条件概率1-3