上课材料之一
《中级计量经济学》 蒋岳祥 第一章 引言 1.1什么是计量经济学？ 计量经济学是由挪威经济学家R.Fisher在三十年代首先创立的一门学科，是关于运用 统计方法测量经济关系的艺术与科学，已经成为现代经济学的重要组成部分之一。 如果要给计量经济学（Econometrics）下一个较为确切的定义，我们可以这样界定： 计量经济学是这样一门学科，它根据以往历史的经济资料与数据，从经济理论出发， 运用数理统计的分析方法对经济关系建立经济计量模型，并依据所建立的模型对经济系 统进行结构分析，经济预测和政策评价。所以计量经济学涉及数学学科中的统计学领域 和经济学领域，统计学与经济理论是计量经济学的两块基石。 经济现象包罗万象，影响经济的因素有很多，如果我们企图将所有的因素作为研究的 对象，我们可能什么结论也得不到，研究经济问题的一般方法是：我们总是选用最重要 的因素变量而屏弃一些非本质的因素（变量），还需要了解哪些经济现象是有待解释的 ，哪些重要因素是有助于解释这些经济现象的，如何度量量化那些因素，并努力寻求它 们之间存在的数量关系，并用统计推断来检验这些关系，故一般建立计量经济模型的过 程与方法是： 计量经济模型建立，求解，解释过程图 1.2 计量经济模型(Econometric Modeling)实例 学过经济学中凯恩斯经济理论的人都知道，理论上说消费和收入存在着密切的联系， 如果C表示消费，Y表示收入。则C与Y的关系，可用消费函数表示： C=f（Y） （1） 这样的函数满足： 1）边际消费倾向（MPC）[pic]位于0和1之间，即 0＜[pic]＜1； 2）平均消费倾向（APC）[pic]是随着收入的增加而减少。 我们不妨将第二个条件作些化解，这个条件用数学语言表示是：[pic]＜0， 而[pic] [pic]＜0 即MPC＜APC。 在现实经济社会中，消费与收入之间的关系很难确切地用方程（1）表示收入，我们 所能采集到的数据往往受到这样那样的影响，我们可用随机扰动[pic]来表示这些影响， 所以，我们要对方程（1）要作适当调整，于是消费和收入之间的关系可以写成如下形式 ： [pic] （2） 其中[pic]是随机扰动。 满足凯恩斯条件的[pic]很多，无法枚举穷尽，但我们可以大致将它们分为线性模型 与非线性模型两类。 [例1]线性模型(Linear Model) 方程（2）的一个最简单的情况，是C与Y的线性关系，即 C=[pic]+[pic]Y+[pic] （3） 其中0＜[pic]＜1，[pic]＞0 如果我们现在从历史记录中或观察到N个样本，即（Yt，Ct），t=1.2，……N，于是我 们有如下一组方程： C1=[pic]+[pic]Y1+[pic]1 C2=[pic]+[pic]Y2+[pic]2 ………………… CN=[pic]+[pic]YN+[pic]N 这便是典型的一元线性回归模型。 [例2]非线性模型(Nonlinear Model) 一般情况下，方程（2）都是非线性的情况。例如： C=[pic]+[pic]Y[pic]+[pic], 其中0＜[pic]＜1，[pic]＞0 显然，当[pic]=1时，它就是例1的情况。[pic]而[pic]，[pic]，现在我们假设0＜[pic] ＜1则，MPC＞0即该模型满足凯恩斯的两个条件，这就是一个典型非线性模型。 其他实例 1、社会保障水平与国内生产总值 直现上看，社会保障水平的相关因素中，最主要的因素是人均国内生产总值。只有人 均国内生产总值的增长，才会有资金支撑社会保障的各项支出，我们可以建立相应的线 性回归模型：[pic] 利用有关国家的数据，算出常数项a和系数b，如下： 社会保障水平与人均GDP增长之间的相关函数和回归方程： |国家 |相关系数Y |回归方程Y=a+bx |样本年份 | |英国 |0.956 |Y=14.1+0.0034x |1960—1995 | |瑞典 |0.964 |Y=10.68+0.0064X | | |丹麦 |0.940 |Y=10.14+0.0056X | | |美国 |0.903 |Y=10.46+0.00034X |1960—1995 | |日本 |0.988 |Y=7.62+0.00078X | | |德国 |0.947 |Y=16.37+0.00081X | | 资料来源：①世界银行，世界发展报告（1982—1998）北京：中国财政经济出版社 ②联合同，人类发展报告，（1982—1999）伦墩：天津大学出版社 从统计分析结果证明了2点。 1、社会保障水平与人均GDP队长之间存在着高度相关。（相关系数在0.94至0.98之间 ） 2、回归方程中的自变量系数b值，福利型国家明显都高于自保公助型国家，上述关系 表明，人均GDP每增长一亿本币，社会保障支出相应增长，福利型国家为0.003%～0.006 %，自保公助型国家为0.0003%～0.0008%，二者相差一个小数点，从而说明，在相同人均 国内生产总值增长速度下，福利型国家社会保障水平的上升速度快于自保公助型国家。 2、失业、国内生产总值GDP与奥肯定理（Okun’s Law） 失业与实际GDP之间的负相关关系，首先被奥肯发现，称之为奥肯定理。 利用美国1951年至1997年的经济数据，发现： 实际GDP变动的百分比=3%—2 x 失业率的变动。 如果失业率保持不变，实际的GDP增长3%左右，这种正常的增长是由于人口增长、资 本积累和技术进步引起的。此外，失业率每上升一个百分点，实际GDP一般减少两个百分 点。因此，如果失业率从6%上升到8%，那么，实际GDP的增长将是： 实际GDP变动的百分比=3%—2（8%—6%）=—1%。奥肯定理说明了，在这种情况下，GDP将 在原有的基础上下降1%，表明经济处于衰退中。 3、带技术进步[pic]的Solow模型 假定生产函数为希克斯（Hicks）中性技术进步条件下的产出增长型函数，其一般形 式Solow模型为： [pic] （1） 对A（t）作进一步假定，令[pic]，这里A0为基本的技术水平，[pic]表示由于技术进 步而使产出增长的部分，称为技术进步增长率。于是（1）式变为： [pic] （2） 对（2）式两边取对数并求导得到： [pic] （3） 由于Y、L、K的实际数据都是离散的，故对（3）进行离散化，并令[pic]年，于是有： [pic] （4） [pic]表示产出的劳动力弹性，[pic]表示产出的资本弹性。于是（4）式实际上就是我们 的科技进步贡献率的测算模型，注意到： [pic] 这里[pic]表示科技进步对产出增长的贡献率，[pic]表示劳动力增长对产出增长的贡献 率，[pic]表示资本增长对产出增长的贡献率。从而有： [pic] （5） （5）式就给出了技术进步贡献率的测算公式。 通过假定一定规模报酬不变，即[pic]这一条件，比较合理有效地预防或克服了变量 间可能出现的共线性。由（4）式，根据[pic]，有： [pic] 设[pic]，则有： [pic] （6） 一般来讲，只要D1序列不存在异方差性，（6）式就是测算科技进步增长率[pic]所用 的最终模型。 1．3 计量经济模型的类别 一般的模型是广义回归模型，即假设 [pic] （0） 其中Ω是一般的正定矩阵，[pic]是样本的协方差矩阵。 假设Cov([pic],[pic])=[pic] , 样本的协方差矩阵[pic]（the covariance matrix）是: [pic] [pic]中应该有1+2+…+n = [pic]未知的参数，再加上未知参数[pic]的个数，是一个只有n个样本点难以完成任务的 ，即使完成，效率和准确性是不高的。即不简化模型我们将一事无成。 模型 1. [pic][pic]. 模型 1a. Large-sample. 模型2. 异方差（Heteroscedasticity） [pic] 即使这样，也有超过n个未知的参数要估计，所以，进一步假设组间异方差（group- wise） [pic] 模型3. 自相关（Autocorrelation） [pic] We need to estimate 2 parameters ([pic],[pic]) in it. 模型 4. ARCH (条件异方差) or GARCH（广义条件异方差） [pic] All [pic]’s are different from observations to observations, but there exist some relationships between them: ARCH: (e.g. [pic]) 在条件Cov([pic],[pic])=0下。 GARCH: (e.g. [pic]=a+b[pic]+c[pic]+…) 1．4 回归的本质 设随机变量[pic]是[pic]维随机向量，它是可以预先测量的，希望通过X预测Y，也就 是说要寻找一个函数[pic]当X的观察值为x时，就把[pic]作为对Y的预测值。当然一般总 希望一个好的预测，其均方预测误差应达到最小,即 [pic] (1) 某中min是对一切x的(可测)函数L(x)取极小,对此有 定理1当[pic]取作为条件数学期望 [pic] (2) 时,使得(1)式成立,即 [pic] (3) 且[pic]与[pic]具有最大相关,即 [pic] (4) [证明](仅对连续型情形给出) 设[pic]的分布密度是[pic]的边际分布密度是[pic]关于[pic]的条件分布密度是 [pic] 则[pic]关于[pic]的条件期望是 [pic] 由于 (5) 因而 [pic] (6) (6)右边第一项与[pic]无关,第二项大于等于零,它等于零的充要条件是 [pic][pic] 它表示当[pic]时,[pic]达到最小值[pic]。 在统计学上，我们称Y=[pic] 为Y关于X的回归曲线。 问题：[pic]与C=f（Y）+ [pic] 两者间的区别？ 计量经济学数学基础知识 1、本科所学专业： 属 1）理科 2）文科 。 2、请在你学过的课程中打“√”： 1）高等数学 2）概率论 3）数理统计 4）数学分析 5）线性回归分析 6）中级计量经济学 7）随机过程 8）常微分方程 3、若将二次型[pic]转化成[pic]，则[pic]。 4、若矩阵[pic]求A-1。（略） 5、若矩阵[pic]，求A的秩、特征根及特征向量。 6、假设连续随机变量Z，它的概率密度函数为 [pic]， ，求E（Z），和Var（Z）。 7、设Z，Y的联合概率密度函数为 [pic] 证明Z与Y的相关系数[pic]。 8、如果[pic]是相互独立的标准正态分布，那么[pic]服从何分币？[pic]又服从何分 币？ 9、[pic]，请写出[pic]在点[pic]处泰勒展开式。 10、设[pic]是一个随机样本，其总体分布为 [pic]，0＜x＜1 （1）利用矩方法求参数[pic]的估计量； （2）求参数[pic]的极大似然ML估计量。 11、对教师如何上好《中级级计量经济学》的建议。 ----------------------- 求解 模型求解 统计模型 建立 解释变量 被解释变量 建模 经济现象 模型解释 解释 参数估计 验证 统计推断 反馈 经济解释与预测 如果a＜x＜b 其它 0＜x＜1，0＜y＜1 其它 区分 反馈 反馈 [pic]
上课材料之一