漫谈投资组合的几何增值理论
漫谈投资组合的几何增值理论 从掷硬币打赌看投资组合问题 什么是投资组合？首先我们从掷硬币打赌谈起。 假设有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性 相同； 出A面你投一亏一，出B面你投一赚二；假设你开始只有100元，输了没法再借。现在问怎 样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户? 我们可以象小孩子玩登山棋那样，几个人下不同的赌注，然后重复掷硬币，看谁最先变 成百万富翁。你可能为了尽快地变为百万富翁而全部押上你的资金。 可是只要有一次你输了，你就变成穷光蛋，并且永远失去发财机会。你可能每次下注10 元。但是，如果连输10次，你就完了。再说，如果你已经是万元户了，下10元是不是太 少了? 每次将你的所有资金的10%用来下注，这也许是个不错的主意。首先，你永远不会亏完( 假设下注的资金可以无限小)； 第二，长此以往，赢亏的次数大致相等时，你总是赚的。假设平均两次，你输一次赢一 次，则你的资金会变为原来的(1+0.2)×(1- 0.1)=1.08倍。可是，以这样的速度变为百万富翁是不是太慢了，太急人了? 有没有更快的方法? 有! 理论研究表明，每次将你所有资金的25%或0.25倍用来下注，你变为百万富翁的平均速度 将最快。 几个不同下注比例带来的资金变化如图1所示(掷币结果分别是A, B, A, B, ...)。实验表明，张大胆每次投100％，嬴时嬴得多，可亏时亏得惨，一次亏损就永远被 淘汰出局。李糊涂每次下50％，收益大起大落，到头来白忙。王保守每次下10％，稳赚 但少赚；“你”每次下25％，长期看结果最好。 [pic] 图1 资金增值随几种不同投资比例的变化 前面的打赌中，硬币只有一个。 如果同时有两个、三个或更多，各个硬币盈亏幅度不同，两面出现的概率（频率或可能 性）也可能不同；怎样确定在不同硬币上的最优下注比例？如果不同硬币出现A面B面是 不同程度相关的(比如一个出A面，另一个十有八九相同??正相关，或相反－－反相关)， 又如何确定最优下注比例？股票、期货、期权、放贷、房地产、高科技等投资象掷硬币 打赌一样，收益是不确定的且相互关联的。 如何确定不同证券或资产上的投资比例，以使资金稳定快速增长并控制投资风险，这就 是投资组合理论要解决的问题。 投资组合也就是英文说的portfolio。当今世界上著名的投资组合理论是美国的马科维茨 (H. Markowitz)理论。笔者则从自己建立的一个广义信息理论(参见专著《广义信息论》，中国 科技大学出版社，1993)和自己的投资实践出发，得到了投资组合的几何增值理论，或者 叫熵(shang)理论（因为其中采用了同物理学和信息论中的熵函数相似的熵函数作为优化 标准）， 并完成了专著《投资组合的熵理论和信息价值??兼析股票期货等风险控制》（中国科技大 学出版社，1997)。现在笔者知道美国的H. A. Latane 和D. L. Tuttle最早提出了用几何平均产出比??即1+几何平均收益或平均复利??作为优化证券组 合的准则；后来T. E. Cover等人研究了用几何平均产出比的对数作为优化准则. 不同的是，笔者的研究更注重应用。 马科维茨理论及其缺陷 1952年，马科维茨发表了《有家证券的选择：有效的转移》。这篇开创性的论文导致了一 个新理论??投资组合理论??的诞生。1990年，瑞典皇家科学院将诺贝尔经济学奖授予了 H. 马科维茨，W. 夏普(Shape) 和W. 米勒(Miller), 以表彰它们在投资组合和证券市场理论上的贡献。 马科维茨用收益的期望E和标准方差?表示一种证券的投资价值和风险。期望收益也就是 算术平均收益。收益的标准方差反映了收益的不确定性。比如对于上一节谈到的掷硬币 打赌(亏时亏一倍，嬴时嬴两倍)，用全部资金下注时， E=P1 r1+P2 r2 =0.5×(-1)+0.5×2=0.5 ? =[P1( r1-E)2+P2( r2-E)2]0. 5=[0.5(-1-0.5)2+0.5(2-0.5)2]0.5=1.5 上式中P1=0.5和r1= -1是亏钱的概率和幅度，P2=0.5和r2=2是嬴钱的概率和幅度。根据马科维茨理论，期望 越大越好，而标准方差越小越好。标准方差反映了收益的不确定性或投资风险。至于两 种证券或两种组合，一个比另一个期望收益大，标准方差也大，那么选择哪一个好呢？ 马科维茨理论认为这没有客观标准。有人不在乎风险而只希望期望收益越大越好，而有 人为了小一些的风险而情愿要低一些的期望收益。 马科维茨证明了，通过分散投资互不相关或反相关的证券，可以在不降低期望收益的情 况下，减小总的投资的标准方差(即风险). 比如同时用两个硬币打赌，嬴亏幅度同样，每种证券下注50%时, 收益的可能性有三种：1)两边亏，亏100％，概率是1/4=0.25; 2)一亏一嬴，嬴50％, 概率是1/2=0.5 ; 3)两边嬴，嬴200％，概率是1/4=0.25. 这时期望收益E=0.5不变，标准方差由1.5减小为 ?=[0.25(-1-0.5)2+0.5(0.5-0.5)2+0.25(2-0.5)]0. 5=1.06 如果两个硬币的嬴亏总是反相关的，比如一个出A面，另一个必定出B面，反之亦然；则 期望收益不变，标准方差为0??完全无风险。 马科维茨理论的成就是巨大的，但是其缺陷也是不可忽视的。缺陷之一是：不认为有客 观的最优投资比例，或者说并不提供使资金增值最快的投资比例(当然也就不能解决前面 的掷硬币打赌问题)； 缺陷之二是：标准偏差并不能很好反应风险。下面我们举例说明。 例：两种证券当前价格皆是1元，证券I(象是期权)未来价格可能是0元和2元，概率分别 为1/4和3/4（参看图1，其中产出比=产出比=本利和/本金=1+收益)。证券II(象是可转换 债券)的收益的期望和标准方差同样是0.5和0.886，但是收益的概率分布以0.5为中心(产 出比以1.5为中心，)对称反转了一下.两者投资价值分析如表1所示(这里忽略银行利息和 交易手续费)。 [pic] 图 1 期望和标准方差相同但风险不同的两个证券 表 1 期望和标准方差相同的两种证券的投资价值分析 |　 |期望 |标准方 |下100％时平|优化比 |优化后平均| | | |差 |均复利 |例％ |复利比例 | |证券 I |0．5 |0．886 |－100％ |50 |15％ | |证券 II |0．5 |0．886 |32％ |100 |32％ | 表中最优投资比例?100%意味着：如果可以贷款或透支，投更多更好。按Markowitz 理论，A和B投资价值相同，而按常识和投资组合的几何增值理论，B远优于A。 对于存在大比例亏损可能的投资，比如期权、期货、放贷(可能收不回本金)、卫星发射 和地震保险（风险极大而标准方差并不大），马科维茨理论的缺陷尤为明显。 几何级数增值的魅力 1988- 1989年，日本股市从21564点上涨了80％，到达38921点；然后开始大跌，1992年8月跌到 14194点，跌幅达63％。虽然80％大于63％，算术平均大于0，可是总的来说是跌的，跌 了约1/3，因为累积产出比是 (1+0.8)(1-0.63)=0.666，累积收益是0.666-1= -0.334＝-33.4％. 炒过股票的人都知道，如果你总是将所有的资金买入股票，则先赚50% 再亏50%； 或者先亏后赚，虽然算术平均收益是0，可是你的资金会变少(变成0.5×1.5=0.75倍)。可 见算术平均收益不能反映实际增值情况。 能反映实际增值的收益是什么呢？是几何平均收益。设每一元资金投资N年后变为M元， 则累计产出比是M/1=M。 累计产出比的N次开方M1/N被称为几何平均产出比， 我们记为Rg, 即Rg=M1/N 。 投资的平均复利又叫几何平均收益，我们记为rg，则有rg=Rg-1. 可见几何平均产出比或几何平均收益才能反映长期投资业绩。因为 N年累积产出比M=RgN =(1+rg)N. 投资组合的几何增值理论(或者说熵理论)就是用几何平均产出比作为优化投资组合的标 准，根据这一标准，使几何平均收益达最大的投资比例就是最好的投资比例。 稳定的几何增长具有无比的魅力。几何平均收益的微小优势，在长期累计后可能导致惊 人的成功。下表显示了几何平均收益对20年累积产出比的影响。 表1 几何平均收益对20年累积产出比的影响 |几何平均 |10%|15% |20%|23.8| |收益 | | | |% | |20年产出 |6.7|16.4|38.|71.5| |比 | | |3 | | 其中23.8%就是巴费特管理的伯克希尔公司32年里的几何平均收益。在过去的32年里，伯 克希尔公司每股资产从19美元增长到19011美元，算术平均年收益大约是1000/32=3125％ ，可是几何平均年收益只有23.8%. 美国的基金管理大师彼得·林奇之所以有成功，是因为他十年里使基金的几何平均收益达 到30％。有人做过计算说明，虽然两百年前美国政府从印地安人手里以极便宜的价格买 了大片土地，但是如果印地安人把钱存入银行每年得到现在美国长期国债的收益，则利 滚利后，印地安人现在将极其富有，足以买回更大面积的土地。可见稳定的几何平均收 益的威力。 有人炒期货看到可能的盈利幅度大于亏损幅度就大量投入；有人炒期货还要透支。 中国人在期货市场上破产的比例极大，原因就是因为许多人看不到稳定增值的重要性。 许多股民类似，他们对收益波动极大的亏损垃圾股、庄股、新股、权证等倍加追捧；而 对收益较为稳定的年收益达20％－30％的投资（比如认购新股)不以为然。这不能不说是 中国股市不成熟的表现。 笔者特别羡慕那些有稳定收入的年轻人。只要他们有耐心，采取稳健的策略(比如每年认 购新股，如果认购新股效益不变的话)，一、二十年后成为百万富翁将极其容易。当然， 对于包括笔者在内的许多人??既不年轻又有生活压力，要成为百万富翁，我们当采取更 加进取的投资策略，即选择多种投资方式，优化投资组合，赢得更高的几何平均收益。 掷硬币打赌问题的数学解答 掷硬币打赌问题是：有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两 面出现的可能性相同； 出A面你投一亏一，出B面你投一赚二；假设你开始只有100元，输了没法再借。现在问怎 样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户? 不知读者是否记得中学学过的抛物线公式y=ax2+bx＋c。抛物线可以用来描述炮弹飞行轨 迹，它有一个最高点, 当水平距离x= - b/(2a) 时，高度y达最大。下面我们说明中学数学知识如何能帮助我们尽快成为百万富翁。 对于上面的掷硬币打赌，几何平均产出比Rg随下注比例q的变化是 [pic] 要使Rg达最大，只需使上式右边括号中的内容达最大。根据中学数学知识，q= -1/[2×(- 2)]=1/4=0.25=25%时，括号中的内容，也即几何平均收益Rg达最大。这就是说，对于上 面的掷硬币打赌，25％是最优投资比例。 [pic] 图1 几何平均收益rg和算术平均收益ra随q的变化 对于上面的掷硬币打赌，算术平均收益ra和几何平均收益rg随下注比例q的变化如图1所 示。容易看出，算术平均收益rg和投资比例q成正比关系；而几何平均收益不是，q太大 反而不好，如果q>0.5则从长远看必然亏损。 上面假设硬币的两面出现的可能性或概率相同，即P1=P2=0.5；嬴亏幅度是给定 的（－1和2)。 如果硬币是弯的，一面出现的可能性大，另一面出现的可能性小, P1和P2皆不等于0.5, 并且嬴亏幅度也是变的(为r1小于0和r2大于0)， 这时几何平均收益等于 [pic] 则这时最优比例如何求法？ 现在我们用H表示资金翻一番数目， 如果Rg=2， 则H=1; 如果Rg不等于2呢? 我们可以用log2Rg表示翻番数， 即 H=log2Rg=P1log(1+r1q)+P2log2(1+r2q) 这一公式很象通信理论中的熵公式，所以我们把翻番数H叫做增值熵。这样求几何平均收 益最大和求增值熵最大就是一回事。可惜这时不能用中学生的方法求最优投资比例。这 时要用到大学生学到的求极值的方法(可见数学还是有用的)。令H对q的导数等于0可以求 出最优投资比例是 q*= ?(P1r1+P2r2)/(r1r2). 注意上式分子括号中正好是算术平均收益。有了这一公式，我们就可以对付收益更复杂 的打赌或投资。比如重复掷骰子打赌，可能出现的数字是1到6；出1，2亏一倍，出3，4 ，5，6嬴一倍。P1=1/3, P2=2/3, r1= ?1, r2=1。于是可以求出最优下注比例q*=1/3=33.3%。读者不妨通过反复掷硬币或掷骰子检 验上面结论。 股票和国债的投资组合优化 上一节我们介绍了掷硬币打赌下注比例的优化公式： q*= ?(P1r1+P2r2)/(r1r2). 有人会问：剩下的资金不投资不是浪费掉了？回答是：剩下的资金如能产生稳定收益更 好，即使不能产生，那也不是浪费。就象打仗要有后备军一样，风险投资也要有后备军 ，它能在前次投资亏损后发挥更大效用。可幸的是，目前深圳上海交易所允许股民同时 从事股票和国债买卖，使得股民可以用“后备军”购买国债，同时得到稳定的国债收益。 假设只有购买二级市场股票和购买国债两种投资方式，股票收益近似用掷硬币打赌收益 来模拟，即已知国债收益率r0和股票收益的概率预测P1,r1, P2, r2。如何优化股票和国债的投资比例？这时资金的平均翻番数或增值熵变为 H=log2Rg=P1log2(1+r0q0+r1q)+P2log2(1+r0q0+r2q) 其中q0＝1－q, 是投资国债的比...
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